UM UGM 2015 Kode 631 - BARISAN DERET

Tiga buah bilangan dengan jumlah 42 membentuk barisan geometri. Jika suku di tengah dikalikan dengan \( - \frac{5}{3}\) maka akan terbentuk barisan aritmatika. Maksimum dari bilangan-bilangan tersebut adalah ….
(A) 48
(B) 50
(C) 52
(D) 54
(E) 56

Solusi (D)
Misalkan tiga bilangannya adalah \(a,ar,a{r^2}\), maka, \(a + ar + a{r^2} = 42\)
Suku tengah dikalikan \( - \frac{5}{3}\) terbentuk barisan aritmatika, maka \(a, - \frac{5}{3}ar,\;a{r^2}\) adalah barisan aritmatika
\({U_2} - {U_1} = {U_3} - {U_2} = b\)
\( - \frac{5}{3}ar - a = a{r^2} + \frac{5}{2}ar\)
\( - a - a{r^2} = \frac{{10}}{3}ar\)
\( - \left( {a + a{r^2}} \right) = \frac{{10}}{3}ar\)

Substitusi , \(a + ar + a{r^2} = 42\)
\( - \left( {42 - ar} \right) = \frac{{10}}{3}ar\)
\(ar - 42 = \frac{{10}}{3}ar\)
\(\frac{7}{3}ar = - 42\)
\(ar = - 18\)
Substitusi ke \(a + ar + a{r^2} = 42\)

\(a - 18 + a{r^2} = 42\)
\(a{r^2} + a = 60\)
\(a\left( {{r^2} + 1} \right) = 60\)
\( - \frac{{18}}{r}\left( {{r^2} + 1} \right) = 60\)
\({r^2} + 1 = - \frac{{60r}}{{18}}\)
\(9{r^2} + 30r + 9 = 0\)
\(9{r^2} + 30r + 25 = 16\)
\({\left( {3r + 5} \right)^2} = 16\)\(3r + 5 = \pm 4\)
\(r = - \frac{1}{3}\;atau\;r = - 3\)

Untuk \(r = - \frac{1}{3} \to {U_3} = - 18 \times - \frac{1}{3} = 6\)
Untuk \(r = - 3 \to {U_3} = - 18 \times - 3 = 54\)
Maka bilangan terbesar yang mungkin adalah 54