Pembahasan SBMPTN 2018 Matematika IPA Kode 410

Berikut adalah solusi SBMPTN 2018 Matematika IPA Kode 410!

1. Jika nilai minimum fungsi \(f\left( x \right) = {a^2}\cos \left( x \right) + a\) adalah \(\frac{1}{4}\), maka nilai maksimum \(f\left( x \right)\) adalah ....
(A) \(\frac{1}{2}\)
(B) \(\frac{3}{4}\)
(C) \(1\)
(D) \(\frac{5}{4}\)
(E) \(4\)

Solusi (B)
Karena \(a\) konstan dan \({a^2}\) bernilai positif maka fungsi bernilai minimum/maksimum hanya berdasarkan pada nilai \({\rm{cos}}\left( x \right)\)
Untuk kasus nilai minimum, maka nilai \(\cos \left( x \right) = - 1\)
\(f\left( x \right) = {a^2}\left( { - 1} \right) + a = \frac{1}{4}\)
\({a^2} - a + \frac{1}{4} = 0\)
\({\left( {a - \frac{1}{2}} \right)^2} = 0\)
\(a = \frac{1}{2}\)
Untuk kasus nilai maksimum, maka nilai \(\cos \left( x \right) = 1\)
\({f_{{\rm{max}}}} = {a^2}\left( 1 \right) + a = {a^2} + a = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}\)

2. Diketahui bayangan titik \(B\left( {5,1} \right)\) jika dicerminkan terhadap sumbu \(x\), kemudian digeser sejauh \(a\) satuan ke kiri dan \(b\) satuan ke atas, adalah \(B'\left( {p,q} \right)\). Titik-titik \(O\left( {0,0} \right),\;A\left( {p,o} \right),\;B\left( {p,q} \right),\;C\left( {0,q} \right)\) membentukpersegi dengan luas 4 satuan di kuadran I. Nilai \(a + 3b\) adalah ….
(A) 4
(B) 8
(C) 12
(D) 16
(E) 20

Solusi (C)
\(\left( {\begin{array}{*{20}{c}}p\\q\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}1&0\\0&{ - 1}\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}5\\1\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{ - a}\\b\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{5 - a}\\{b - 1}\end{array}} \right)\)
Karena membentuk persegi dengan luas 4, maka \(p = q = 2\)
\(5 - a = 2 \to a = 3\)\(b - 1 = 2 \to b = 3\)
Maka nilai \(a + 3b = 3 + 9 = 12\)

3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan Panjang rusuk \(2\sqrt 2 \) cm. Jika titik P di tengah-tengah AB dan titik Q di tengah-tengah BC, maka jarak antara titik H dengan garis PQ adalah ….

(A) \(\sqrt {15} \)
(B) \(4\)
(C) \(\sqrt {17} \)
(D) \(3\sqrt 2 \)
(E) \(\sqrt {19} \)

Solusi (C)
Misalkan jarak antara H ke PQ adalah HR, \)
\(HR = \sqrt {H{Q^2} - R{Q^2}} \)\)
\(HQ = \sqrt {H{D^2} + D{Q^2}} = \sqrt {H{D^2} + D{C^{2\;}} + Q{C^2}} = \sqrt {H{D^2} + D{C^{2\;}} + Q{C^2}} \)
\(HQ = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt {18} \) \(RQ = \frac{1}{2}PQ = \frac{1}{2}\sqrt {R{B^2} + B{Q^2}} = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = \frac{1}{2}\sqrt 4 = 1\)\)
Maka \(HR = \sqrt {18 - 1} = \sqrt {17} \)

4. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {9 + 6x} - \sqrt {9 - 6x} }}{{{x^2} + x}} = \)
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Solusi (A)
Gunakan dalil L’Hopital
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {9 + 6x} - \sqrt {9 - 6x} }}{{{x^2} + x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3{{\left( {9 + 6x} \right)}^{ - \frac{1}{2}}} - 3{{\left( {9 - 6x} \right)}^{ - \frac{1}{2}}}}}{{2x + 1}} = \frac{{1 - 1}}{1} = 0\)

5. Diberikan barisan geometri \({U_n}\) dengan \({u_2} - 9\) adalah rata-rata \({u_1}\) dan \({u_3}\). Jika \({u_1} = - 8\), maka jumlah \(4\) suku pertama yang mungkin adalah \( \ldots .\)
(A) -10
(B) -5
(C) -2
(D) 8
(E) 20

Solusi (B)
\(\frac{{{u_1} + {u_3}}}{2} = {u_2} - 9\)
\(\frac{{ - 8 - 8{r^2}}}{2} = - 8r - 9\)
\( - 8 - 8{r^2} = - 16r - 18\)
\(8{r^2} - 16r - 10 = 0\)
\(4{r^2} - 8r - 5 = 0\)
\(\left( {2r + 1} \right)\left( {2r - 5} \right) = 0\)
\(r = - \frac{1}{2}\) atau \(r = \frac{5}{2}\)
Untuk \(r = - \frac{1}{2}\)
\({S_4} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {r^4}} \right)}}{{1 - r}} = - 8 \times \frac{{1 - {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^4}}}{{1 + \frac{1}{2}}} = - 8 \times \frac{{\frac{{15}}{{16}}}}{{\frac{3}{2}}} = - 8 \times \frac{5}{8} = - 5\)
Untuk \(r = \frac{5}{2}\)
\({S_4} = - 8 \times \frac{{1 - {{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^4}}}{{1 + \frac{5}{2}}} = - 8 \times \frac{{1 - \frac{{625}}{{16}}}}{{\frac{7}{2}}} = - 87\)
Jumlah 4 suku pertama yang mungkin adalah \( - 5\) dan \( - 87\)

6. Daerah R dibatasi oleh \(y = {x^4}\), \(y = 1\), dan \(x = 2\) dan sumbu \(x\) positif. Volume benda padat yang didapat dengan memutar R terhadap sumbu \(x\) adalah ….

(A) \(\frac{6}{9}\pi \)
(B) \(\frac{8}{9}\pi \)
(C) \(\frac{{10}}{9}\pi \)
(D) \(\frac{{12}}{9}\pi \)
(E) \(\frac{{14}}{9}\pi \)

Solusi (C)
\(V = {V_A} + {V_B} = \pi \mathop \smallint \limits_0^1 {\left( {{x^4}} \right)^2}dx + \pi \mathop \smallint \limits_1^2 {1^2}dx = \frac{1}{9}\pi + \pi = \frac{{10}}{9}\pi \)

7. Ari dan Ira merupakan anggota dari suatu kelompok yang terdiri dari 9 orang. Banyaknya cara membuat barisan dengan syarat Ari dan Ira tidak berdampingan adalah ….
(A) \(7 \times 8!\)
(B) \(6 \times 8!\)
(C) \(5 \times 8!\)
(D) \(4 \times 8!\)
(E) \(3 \times 8!\)

Solusi (A)
Banyaknya cara mengacak seluruh anggota adalah \(9!\)
Banyaknya cara mengacak jika Ari dan ira rdampingan adalah \(8! \times 2\)
Maka banyaknya cara membuat Ari dan ira tidak berdampingan = \(9! - 8! \times 2 = 8! \times \left( {9 - 2} \right) = 7 \times 8!\)

8. Jika lingkaran \({x^2} + {y^2} - ax - ay + a = 0\) mempunyai panjang jari-jari \(\frac{1}{2}\). a, maka nilai \(a\) adalah ….
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5

Solusi (D)
Jari-jari lingkaran \({x^2} + {y^2} + Ax + By + C\) adalah \(\sqrt {\frac{{{A^2}}}{4} + \frac{{{B^2}}}{4} - C} \)
Dari soal didapat
\(r = \frac{1}{2}a = \sqrt {\frac{{{{\left( { - a} \right)}^2}}}{4} + \frac{{{{\left( { - a} \right)}^2}}}{4} - a} \)
\(\frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{{a^2}}}{2} - a\)
\(\frac{{{a^2}}}{4} - a = 0\)
\(a\left( {\frac{a}{4} - 1} \right) = 0\;\)
Didapat \(a = 0\) atau \(a = 4\)

9. Sisa pembagian \(p\left( x \right) = a{x^3} - 2a{x^2} + bx + b\) oleh \(x - 2\) adalah \(a + 1\). Jika \(p\left( x \right)\) dibagi oleh \(x - 1\) bersisa 3, maka \(b - a = \) ….
(A) -9
(B) -5
(C) 2
(D) 3
(E) 5

Solusi (E)
Dengan teorema sisa, didapat
\(f\left( 2 \right) = a + 1\)
\(8a - 8a + 2b + b = a + 1\)
\(3b - a = 1\)
\(f\left( 1 \right) = 3\)
\(a - 2a + b + b = 3\)
\(2b - a = 3\)
Eliminasi kedua persamaan, didapat \(b = - 2,\;a = - 7\)
Maka \(b - a = - 2 - \left( { - 7} \right) = 5\)

10. Garis yang melalui titik \(O\left( {0,0} \right)\) dan \(P\left( {a,b} \right)\) berpotongan tegak lurus dengan garis singgung kurva \(y = \frac{9}{2} - {x^2}\) di \(P\left( {a,b} \right)\). Jika titik \(P\) berada di kuadran II, maka \(a + b = \)
(A) \( - \frac{3}{2}\)
(B) \( - \frac{{27}}{{50}}\)
(C) \(\frac{{6 - \sqrt 6 }}{2}\)
(D) \(\frac{{8 - \sqrt 2 }}{2}\)
(E) \(\frac{{15 - 2\sqrt 3 }}{4}\)

Solusi (A)
Gradien garis yang melewati PO : \(m = \frac{{b - 0}}{{a - 0}} = \frac{b}{a}\)
Gradien garis singgung : \(m = y'\left( x \right) = - 2x = - 2a\)
Kedua garis tegak lurus, maka \(\frac{b}{a} \times \left( { - 2a} \right) = - 1 \Leftrightarrow b = \frac{1}{2}\)
Karena \(\left( {a,b} \right)\) dilewati garis, maka \(\frac{1}{2} = \frac{9}{2} - {a^2}\)
\({a^2} - 4 = 0\)
\(\left( {a + 2} \right)\left( {a - 2} \right) = 0\)
Karena berada di kuadran II maka \(a < 0,\;\)sehingga yang memenuhi hanya \(a = - 2\)
\(a + b = \frac{1}{2} - 2 = - \frac{3}{2}\)

11. Jika \(\mathop \smallint \limits_0^4 f\left( x \right)dx = \sqrt 2 ,\;\)maka nilai \(\mathop \smallint \limits_0^2 xf\left( {{x^2}} \right)dx\) adalah ….
(A) \(\frac{{\sqrt 2 }}{4}\)
(B) \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
(C) \(\sqrt 2 \)
(D) \(2\sqrt 2 \)
(E) \(4\sqrt 2 \)

Solusi (B)
\(\mathop \smallint \limits_0^2 xf\left( {{x^2}} \right)dx\)
Gunakan substitusi
Misalkan \(u = {x^2}\) maka \(\frac{1}{2}du = xdx\)
Batas bawah \({u_1} = {0^2} = 0,\;Batas\;atas = {u_2} = {2^2} = 4\)
\(\mathop \smallint \limits_0^2 xf\left( {{x^2}} \right)dx = \frac{1}{2}\mathop \smallint \limits_0^4 f\left( u \right)du = \frac{1}{2}\left( {\sqrt 2 } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

12. Diketahui \(\left( {{a_n}} \right)\) dan \(\left( {{b_n}} \right)\) adalah dua barisan aritmetika dengan \({a_1} = 5,\;{a_2} = 8,\;{b_1} = 3,\;\)dan \({b_2} = 7\). Jika \(A = \left\{ {{a_1},{a_2},{a_3}, \ldots {a_{100}}} \right\}\) dan \(B = \left\{ {{b_1},\;{b_2},\;{b_3},\; \ldots ,{b_{100}}} \right\}\) maka banyaknya anggota \(A \cap B\) adalah ….
(A) 20
(B) 21
(C) 22
(D) 23
(E) 24

Solusi (E)
Barisan \({a_n}\) memiliki beda = 3 sedangkan \({b_n}\) memiliki beda = 4
Suku pertama yang beririsan satu sama lain adalah \({a_3} = {b_3} = 11\)
Karena KPK 3 dan 4 = 12, maka suku yang sama akan selalu bertambah 12
Yaitu \(A \cap B = \left\{ {11,23,35, \ldots } \right\}\)
Untuk A, penambahan 12 terjadi setiao 4 suku sekali sehingga ada \(\frac{{98}}{4} = 24\)
Untuk B, penambahan 12 terjadi setiap 3 suku sekali sheingga ada \(\frac{{98}}{3} = 32\)
Karena yang paling sedikit adalah 24, maka \(A \cap B\) ada 24 anggota

13. Himpunan bilangan real \(x\) pada selang \(\left[ {0,\;2\pi } \right]\) yang memenuhi \(2{\cos ^2}x \le 3 - 3\cos 2x\) berbentuk \(\left[ {a,b} \right] \cup \left[ {c,d} \right].\) Nilai \(a + b + c + d\) adalah ….
(A) \(\pi \)
(B) \(2\pi \)
(C) \(3\pi \)
(D) \(4\pi \)
(E) \(5\pi \)

Solusi (D)
\(2{\cos ^2}x \le 3 - 3\cos 2x\)
\(2{\cos ^2}x \le 3 - 3\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right)\)
\(8{\cos ^2}x - 6 \le 0\)
\({\cos ^2}x - \frac{3}{4} \le 0\)
\(\left( {\cos x - \frac{1}{2}\sqrt 3 } \right)\left( {\cos x + \frac{1}{2}\sqrt 3 } \right) \le 0\;\)
\( - \frac{1}{2}\sqrt 3 \le \cos x \le \frac{1}{2}\sqrt 3 \)
\(\frac{\pi }{6} \le x \le \frac{{5\pi }}{6} \cup \frac{{7\pi }}{6} \le \frac{{11\pi }}{6}\)
Didapat \(a + b + c + d = \frac{\pi }{6} + \frac{{5\pi }}{6} + \frac{{7\pi }}{6} + \frac{{11\pi }}{6} = \frac{{24\pi }}{6} = 4\pi \)

14. Himpunan semua nilai \(c\) agar grafik \(y = {3^{2{x^2} + cx + c}}\) dan \(y = {3^{{x^2} - 3}}\;\)berpotongan adalah ….
(A) \(\left\{ {c:\; - 4 < c < 3} \right\}\)
(B) \(\left\{ {c:\; - 6 < c < 2} \right\}\)
(C) \(\left\{ {c:\;c < -6 atau c > 2} \right\}\)
(D) \(\left\{ {c:\;c < -2 atau c > 6} \right\}\)
(E) \(\left\{ {c:\;c < -4 atau c > 3} \right\}\)

Solusi (D)
\({y_1} = {y_2}\)
\(2{x^2} + cx + c = {x^2} - 3\)
\({x^2} + cx + c + 3 = 0\)
Karena berpotongan maka \(D > 0\)
\({c^2} - 4\left( 1 \right)\left( {c + 3} \right) > 0\)
\({c^2} - 4c - 12 > 0\)
\(\left( {c - 6} \right)\left( {c + 2} \right) > 0\)
\(c < - 2\) atau \(c > 6\)

15. Diketahui dua lingkaran \({x^2} + {y^2} = 2\) dan \({x^2} + {y^2} = 4\). Garis \({l_1}\) menyinggung lingkaran pertama di titik \(\left( {1, - 1} \right)\). Garis \({l_2}\) menyinggung lingkaran kedua dan tegak lurus dengan garis \({l_1}\). Titik potong \({l_1}\)dan \({l_2}\) adalah….
(A) \(\left( {1 + \sqrt 2 ,\;\sqrt 2 - 1} \right)\)
(B) \(\left( {1 - \sqrt 2 ,\;\sqrt 2 - 1} \right)\)
(C) \(\left( {1 + \sqrt 2 ,\;\sqrt 2 + 1} \right)\)
(D) \(\left( {1 - \sqrt 2 ,\;\sqrt 2 - 2} \right)\)
(E) \(\left( {1 + \sqrt 2 ,\;\sqrt 2 + 2} \right)\)

Solusi (A)
Untuk lingkaran 1, dengan rumus persamaan garis singgung \({x_1}x + {y_1}y = {r^2}\) didapat persamaan \({l_1}:x - y = 2\)
dari persamaan tersebut sudah terlihat bahwa yang memenuhi persamaan hanyalah opsi A